双曲线x^2-y^2=a^2(a>0)的两个焦点分别为F1.F2

您好：
1、根据双曲线第二定义，得
|PF1|*|PF2|
=(ex)^2-a^2
=2x^2-a^2
由题意，得
|PO|^2
=x^2+y^2
=x^2+x^2-a^2
=2x^2-a^2
得证！
2、设AB的斜率为k，可得AB的方程，再与x^2-y^2=a^2联立，然后根据根与系数的关系，可以得到x1+x2,x1-x2关于k的表达式，那么由
|AB|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|
和根据双曲线第二定义得到的|AF2|+|BF|=2a-e(x1+x2)
再联立并把k的表达式带入|AF2|+|BF2|=2|AB|即得k的值，也就得到了|AB|的长度。
谢谢！

第一题：
设p点在右支上，坐标为（x0，y0），则有x0^2-y0^2=a^2
根据双曲线定义，到焦点的距离等于到相应准线的距离，所以|PF1|=2^(1/2)*(x0+a/2^(1/2)),|PF2|=2^(1/2)*(x0-a/2^(1/2)),|PO|=(x0^2+y0^2)^(1/2)=(2*x0^2-a^2)^(1/2),所以|PO|^2=|PF1|*|PF2|,所以三个线段成等比
第二题：
这个公式比较多，我把思路和你说一下吧，根据双曲线定义，线上点到两个焦点的距离差为常量，则AF2-AF1=8,BF1-BF2=8,两个式子相减，则有AF1+BF1=AF2+BF2=2AB, 因为BF1=AF1+AB，所以AB=2AF1，所以就知道A是线段BF1的定比分点，定比为2，再接下去就要利用直线与双曲线相交，设A、B点坐标，然后联立方程组，就能解出来了，不需要把A、B点的具体坐标算出来，整体带入就可以了~

希望我的答案能让你满意~